Función logarítmica: Desarrollo tema

Definición

La función exponencial de base $a$ con $a>0$ y $aneq 1$ $f:mathbb{R} rightarrow mathbb{R}^+$, con $f(x)=a^x$ posee una inversa que se denomina función logarítmica de base $a$. Esta función es $g:mathbb{R}^+ rightarrow mathbb{R}$ tal que $g(x)=log_ax$.

Puesto que estas funciones son inversa una de la otra entonces $log_ax=y$ si y solo si $a^y=x$. Por ejemplo, puesto que $3^4=81$, entonces $log_381=4$.

Propiedades

Por la razón anterior, de las propiedades de la exponencial se deducen propiedades correspondientes de la logarítmica, tales como las que se consignan en la siguiente tabla.

Propiedad de la exponencial base $a$	propiedad correspondiente de la logarítmica
$a^0=1$	$log_a1=0$
$a^1=a$	$log_aa=1$
$a^{log_ax}=x$	$log_aa^x=x$
$a^xa^y=a^{x+y}$	$log_axy=log_x+log_y$
$frac{a^x}{a^y}=a^{x-y}$	$log_afrac xy=log_ax-log_ay$

Otra propiedad importante de los logaritmos es que si $a$ y $b$ son números reales positivos y diferentes de 1, entonces $$log_ax=frac{log_bx}{log_ba}$$

Ecuaciones

Puesto que la función logarítmica es inyectiva, entonces de la igualdad $log_ay=log_az$ se obtiene que $y=z$. Esto permite resolver algunas ecuaciones que involucran logaritmos.

Por ejemplo, determinar para qué valor o valores de $x$ se cumple que $log_2x+log_2(x+1)=log_2(3x+15)$.

El lado izquierdo de la ecuación es igual a $log_2x(x+1)$, por lo que $log_2x(x+1)=log_2(3x+15)$. Por lo tanto $x(x+1)=3x-15$, es decir $x^2-2x-15=0$ y, de aquí, $x=-3$, $x=5$. Puesto que el logaritmo está definido para números reales positivos, $log_2(-3)$ no está definido. Por otra parte, si se sustituye $x$ por $5$ en la ecuación se obtiene una proposición verdadera. Solo $x=5$ satisface la ecuación.