Función exponencial: Elementos didácticos

A continuación encontrará algunos elementos didácticos relacionados con el tema de función exponencial, como por ejemplo: habilidades que se trabajan, indicaciones metodológicas, el nivel de complejidad del problema y los procesos que se activan.

Habilidades específicas que se trabajan con el problema

La función exponencial es un tema que se trabaja en el undécimo año y a través del problema "Población en Costa Rica" se trabajan las habilidades específicas:

  • Analizar gráfica, tabular y algebraicamente las funciones exponenciales. (MEP, 2012, p.415)

  • Identificar y aplicar modelos matemáticos que involucran las funciones exponenciales. (MEP, 2012, p.415)

Indicaciones metodológicas

En el problema "Población en Costa Rica" se plantean dos ejercicios. El primero tiene como objetivo la búsqueda del modelo matemático que relacione el tiempo con la cantidad de habitantes. Es importante notar que la construcción de modelos no está dentro de las habilidades específicas de este tema. Lo anterior no significa que no se pueda trabajar en las lecciones de matemática, lo que no se podría hacer es evaluar esto en una prueba. El proceso de la construcción de este modelo es importante para que los jóvenes visualicen el comportamiento de las poblaciones (así como del interés compuesto, o descomposición radiactiva, entre otros), así como las limitaciones que tiene un modelo matemático: por ejemplo, analizar que pasaría si se desea conocer la población de Costa Rica en el 2200, ¿sería útil el modelo?

La segunda parte del problema busca solo utilizar el modelo encontrado y compararlo con la población real de Costa Rica.

Por otro lado, la actividad planteada en "Recursos adicionales" se puede trabajar también para introducir la función exponencial, ya que a través de la exploración y modificación de los parámetros el estudiante se percatará del "para qué sirve cada uno de ellos". Se debe considerar que tanto en el problema, como en la actividad planteada en "Recursos adicionales" se trabaja la función exponencial de la forma f(x)=a·bx+c, sin embargo cuando se analizan las características se trabaja con la función de la forma f(x)=bx

A pesar de que las habilidades referidas a las traslaciones en el área de Geometría se trabajan en undécimo año, éstas se pueden utilizar para visualizar el comportamiento de este tipo de función modificando los valores de a y b en la función del tipo f(x)=bx+c.

Nivel de complejidad y procesos matemáticos

Como el problema Población de Costa Rica tiene dos partes se debe realizar dos análisis, ya que cada uno de los ítems tiene su nivel de complejidad. Se hará el análisis de la primer parte del problema y se invita al lector a que realice el análisis de la segunda parte.

El nivel de complejidad de la parte a. del problema Población de Costa Rica es de Reflexión, según la solución presentada y la intervención de los procesos matemáticos que se describen a continuación:

Razonar y Argumentar:

Este proceso se activa a un nivel alto, ya que la única información que se da es la población inicial y la tasa de crecimiento, y con esto es necesario ver el comportamiento de la población en algunos años para identificar el modelo. La relación entre el tiempo y la población es compleja.

Plantear y resolver y problemas:

A pesar de que en la solución del problema se hace notar la relación entre la población inicial con respecto a la población de los años 2011, 2012, 2013, etc, esta relación no es sencilla y requiere inclusive de ciertos "trucos" algebraicos. Para llegar a la relación es necesario comparar y evaluar diferentes estrategias. Por lo anterior, este proceso se activa a nivel alto.

Conectar:

Para resolver el problema es necesario el uso de las potencias, así como el proceso de "sustituir una expresión por otra". Determinar la relación entre el tiempo y la población es compleja. Por lo anterior, este proceso se activa a nivel alto.

Comunicar:

Expresar, por ejemplo P(2) en términos de P(0) (como se muestra en la siguiente figura), requiere seguir una secuencia de razonamientos complejos. 

Por lo anterior, este proceso de comunicar se activa a nivel alto.

Representar:

Este proceso se activa a nivel intermedio. En primer lugar es necesario identificar que el año 2010 representa t=0 en el modelo, el año 2011 es cuando t=1, y así sucesivamente. Por otro lado, se desea representar a través de una expresión algebraica, una relación dada naturalmente e interpretar que significa cada una de los números dados (Población inicial y la tasa de crecimiento).

Por tanto, cuatro de los procesos matemáticos alcancan una intervención alta. El nivel de complejidad del problema es de Reflexión, debido a las exigencias cognitivas que implica para el estudiante y que fueron detalladas previamente. Se puede profundizar en la estrategia para determinar los niveles de complejidad en Ruiz (2018). Además puede acceder a los videos de la colección Valoración de Tareas Matemáticas para ampliar los contenidos.