Mediana y cuartiles: Desarrollo tema

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Cuartiles

Son tres valores que dividen al grupo de datos en cuatro partes. Tienen una función similar a la de la mediana. El primer cuartil o Q_{1}  cumple que el 25% de los datos son menores o iguales a él  y el 75% mayores o iguales. El segundo cuartil o Q_{2} corresponde a la mediana. El tercer cuartil o Q_{3}  cumple que el 75% de los datos son menores o iguales a él  y el 25% son mayores o iguales.

Existen diferentes fórmulas de cálculo para los cuartiles, normalmente se presentan pequeñas diferencias en el resultado de aplicar estas fórmulas, pero esas diferencias no son importantes para los problemas que se aplican en secundaria, siempre que se utilice una misma fórmula al hacer comparaciones.

Al igual que con la mediana, lo primero que se debe considerar para calcular un cuartil es que los datos estén ordenados de menor a mayor. Entonces si se tienen n datos y los representamos con X_{1},X_{1}, X_{1},...,X_{n} se cumple que:

X_{1}\leq X_{2}\leq X_{3}...\leq X_{n}

Una de las fórmulas más utilizadas para determinar los cuartiles es la siguiente:

Si k toma los valores 1, 2 o 3, entonces se calcula el valor \frac{k\cdot \left ( n+1 \right )}{4}:

a) Si \frac{k\cdot \left ( n+1 \right )}{4} en un entero, el cuartil número k sería el dato ordenado que se encuentre en esa posición, o sea:

Cuartil k: C_k=X_{\frac{k\cdot \left ( n+1 \right )}{4}}

b) Si \frac{k\cdot \left ( n+1 \right )}{4} no es entero, se determina la parte entera de este número, digamos M (corresponde al mayor número entero inferior a \frac{k\cdot \left ( n+1 \right )}{4}. Se dice que el cuartil k es un promedio entre los datos ordenados que están en la posición M y M+1, o sea:

Cuartil k: C_{k}=\frac{X_M+X_{M+1}}{2}


Notas importantes:

  • De acuerdo con lo anterior el primer cuartil acumula el 25% de datos menores, el segundo cuartil acumula el 50% de los datos menores y el tercer cuartil acumula el 75% de los datos menores.
  • El segundo cuartil coincide con la definición de la mediana.
  • Además de los cuartiles existen otras medidas similares tales como: los quintiles los cuales dividen el conjunto de datos en cinco grupos, los deciles que dividen el conjunto de datos en diez grupos, los percentiles que dividen el conjunto de datos en cien partes. Todos estas medidas cuartiles, quintiles, deciles y percentiles se les llama cuantiles. Para efectos de la educación secundaria solamente se estudian los cuartiles.

Mediana

Divide al grupo de datos en dos subconjuntos y se ubica en la mitad, cumple la siguiente propiedad: el 50% de los datos toma un valor numérico menor o igual que la mediana y otro 50% tiene un valor numérico mayor o igual .

Por ejemplo, si se tienen  datos ordenados de menor a mayorX_{1}\leq X_{2}\leq X_{3}...\leq X_{n} (el subíndice representa la posición de cada dato, de menor a mayor, X_{1} es el menor dato, le sigue X_{2}, así sucesivamente) entonces la mediana se determina por:

Nota: Si n es impar, entonces n+1 es un número par y entonces \frac{n+1}{2} es un número entero, por esta razón el dato X_{\frac{n+1}{2}}  corresponde al dato que se encuentra en la posición \frac{n+1}{2} .

Por otro lado, si n es par, entonces \frac{n}{2} es un número entero y también su \frac{n}{2}+1 que sería el número entero consecutivo, entonces X_{\frac{n}{2}}+X_{\frac{n}{2}+1} representa la suma de los datos que están en estas posiciones

Percentiles

Una vez ordenados los datos de menor a mayor, el  percentil k  (P_k)  es el valor de la variable igual o mayor al "k%" de datos en un grupo de observaciones. Por ejemplo, el "percentil 15" o  P_{15} es el valor bajo el cual se encuentran el 15% de las observaciones menores o iguales a este.

Ejemplo ilustrativo:

Todos los pediatras hablan de si un niño está en el percentil 50 o en el 70 pero, ¿qué quiere decir esto?

Una vez tomadas las medidas de un niño sano, el pediatra las compara con las que se consideran normales o estándar para niños de su misma edad y sexo. Los resultados se interpretan como percentiles. Por ejemplo, si un bebé tiene una estatura en el percentil 75, significa que alrededor del 25% de los niños de la misma edad y sexo son más altos y alrededor del 75% son más bajos en estatura.


Fuente: Pediatría MedicinaTV (Canal de Yotube)