Función lineal: Desarrollo tema

Si m y p son números reales, una función lineal es el conjunto de pares ordenados (x,f(x)) relacionados mediante un criterio o formulación algebraica de la forma:

f(x) =mx+b

al valor de m se le llama pendiente. Al no existir restricciones para los valores de x las preimágenes e imágenes son números reales

 

Más formalmente:

f:ℝ→ℝ f(x)=mx+b

Manipule la siguiente herramienta para visualizar el comportamiento de la gráfica de una función lineal, dependiendo del valor de la pendiente y de b

Luego de manipular el recurso anterior, conteste las siguientes preguntas.

a. ¿Qué ocurre cuando cambia el valor de m?

Respuesta

Se puede observar que conforme el valor de la pendiente aumenta, la gráfica tiene mayor inclinación en el sentido positivo, creciente. En cambio, cuando este valor disminuye, la gráfica se hace decreciente. El signo de la pendiente es el que determina si es creciente, o decreciente.

b. ¿Cómo es el comportamiento de la gráfica cuando m=0?

Respuesta

Cuando el valor de m es 0, la recta es constante, o sea, paralela al eje X.

c. ¿Cómo influye en la recta, los valores muy altos de m ?

Respuesta

Cuando esto ocurre, la recta tiende a ser vertical, o sea, paralela al eje Y.

d. ¿En qué elemento del gráfico influye el valor de b?

Respuesta

El valor de b corresponde al corte con el eje Y, el cual sería (0,b).

Como puede ver, la gráfica es una línea recta que dependiendo del valor de su pendiente, será creciente, decreciente o constante.

Cálculo de la pendiente

Si se conocen dos pares ordenados que pertenecen a una función lineal, se puede determinar su criterio. La pendiente corresponde al valor de la razón de cambio de y con respecto a x, como se observa en la siguiente figura:

m=frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}

Por ejemplo, si se sabe que (-1,7) y (2,1) son pares ordenados que pertenecen a la función lineal f se puede determinar su pendiente utilizando la fórmula anterior:

m=frac{1-7}{2--1}=frac{-6}{3}
m=-2

Si se sustituye este valor en el criterio de la función, se tiene que:

f(x)=-2x+b

Para determinar el valor de b, se puede hacer uso de cualquiera de los pares ordenados que pertenecen a f. Si se utiliza (2,1) se tiene que:

1=-2cdot 2+b

Se deduce así el valor de b:

b=5
Si se sustituye este valor en el criterio de la función, se tiene que:

f(x)=-2x+5

Intersección con los ejes

Para determinar el punto en donde la recta correspondiente a la función lineal f(x)=mx+b interseca los ejes, se procede así:

Eje X:

La intersección de la gráfica de cualquier función con el eje X, sucede cuando esta es nula. Esto implica determinar cuál o cuáles valores de x hacen que f(x)=0. En el caso particular de la función lineal, si la pendiente es distinta de 0:

mx+b=0
mx=-b

x=frac{-b}{m}

Por lo tanto, la gráfica de la función lineal interseca el eje X en el par ordenado left ( frac{-b}{m},0 right ).

Eje Y:

En este caso, se encuentra en la función, la imagen de 0:

f(0)=mcdot 0+b=b
Por lo tanto, interseca el eje Y en left ( 0,b right )

Crecimiento y decrecimiento de la función lineal

El régimen de crecimiento de una función lineal, se puede observar en su gráfica.

a) Función lineal creciente:

En este caso, se observa que la pendiente es 2, y el valor de b, que corresponde al corte con el eje y, es 3.

b) Función lineal constante:

Nótese que al ser la pendiente igual a 0, todas las imágenes corresponden al valor de b, en este caso, -2,5.

c) Función lineal decreciente:

Esta es la gráfica de la función linealf(x)=mx+b. La pendiente es -1  , y b=-1, como se observa en el corte con el eje y.