Función inversa: Desarrollo tema

Definición

Si f:A→Bf:A\rightarrow B es una función real de una variable real donde el codominio coincide con el ámbito y además f es inyectiva, entonces su inversa es la función, que simbolizaremos por f−1f^{-1}, que satisface la siguiente condición: (x,y)(x,y) es un punto en la gráfica de ff si y sólo si (y,x)(y,x) es un punto en la gráfica de f−1f^{-1}

De la definición se tiene que f−1(y)=xf^{-1}(y)=x significa que f(x)=yf(x)=y.

En la notación f−1f^{-1} para la función inversa, el –1–1 no es un exponente, es decir f−1(x)f^{-1} (x) no es igual a 1/(f(x))1/(f(x)). Además, la definición indica que el dominio de la función f es el rango o ámbito de f−1f^{-1} mientras que el rango de ff es el dominio de f−1f^{-1}.

Método para hallar el criterio de la inversa de una función f

En la práctica, la regla de correspondencia (criterio) para la inversa de una función con criterio y=f(x)y=f(x) se puede obtener cambiando xx por yy , y yy por xx. Luego se despeja yy en términos de xx, quedando la representación simbólica (criterio) y=f−1(x)y=f^{-1} (x) para la inversa de ff. La dificultad puede consistir en despejar yy en términos de xx.

Ejemplo

Determinar la inversa de la función g(x)=−1−xg(x)=\sqrt{-1-x}, con dominio ]−∞,−1]]-\infty,-1].

Solución

Para encontrar la inversa de gg intercambiamos las variables xx y yy en y=−1−xy=\sqrt{-1-x}; es decir x=−1−yx=\sqrt{-1-y} y despejamos la variable yy. Elevando al cuadrado se tiene que x2=−1−yx^2=-1-y, y por lo tanto y=−1−x2=−(1+x2)y=-1-x^2=-(1+x^2).

Concluimos que g−1(x)=−1−x2g^{-1} (x)=-1-x^2 es la inversa de gg, para 0≤x<∞0\leq x<\infty. Note que el ámbito de gg es el dominio de g−1g^{-1}.

Propiedad de la gráfica

Existe una simetría respecto a la recta y=xy=x de la gráfica de la función respecto a su inversa. Esto se debe a que los puntos (x,y)(x,y) y (y,x)(y,x) son simétricos respecto a la recta y=xy=x en el plano cartesiano, y en la definición de inversa tenemos que si (x,y)(x,y) pertenece a la gráfica de una función invertible entonces (y,x)(y,x) pertenece a la gráfica de su función inversa (y recíprocamente).

Ejemplo

En la figura aparece la gráfica de p(x)=x3+8p(x)=x^3+8, con dominio ℝ\mathbb{R} (en color rojo), la gráfica de su inversa p−1(x)=(x−8)1/3p^{-1}(x)=(x-8)^{1/3} en color verde. Se puede observar la simetría con respecto a la línea discontinua que representa la gráfica de y=xy=x.