Pirámides: Elementos didácticos

Este problema permite integrar tres habilidades (MEP, 2012, p. 319):

• Aplicar el teorema de Pitágoras en la resolución de problemas en diferentes contextos.
• Identificar y calcular la apotema de pirámides rectas cuya base sea un cuadrado o un triángulo equilátero.
• Calcular el área lateral y el área total de una pirámide recta de base cuadrada, rectangular o triangular.

Todo ello enmarcado en la habilidad general para el III ciclo que se refiere a (MEP, 2012, p. 302):

• Visualizar y aplicar características y propiedades de figuras geométricas tridimensionales.

El docente presentará a los estudiantes el problema que se propone en la plataforma en la sección "Problema". Debe quedar claro lo que el problema pretende. Sería conveniente explicar a los estudiantes de qué manera se puede construir la figura da en una hoja cuadrada de papel. Se identifica el centro de la hoja, por ejemplo trazando las diagonales de la misma y ubicando su punto de intersección. Con ese mismo centro se dibuja un cuadrado y sobre los lados de ese cuadrado los triángulos isósceles correspondientes.

De acuerdo con el enunciado y al analizar la solución, podemos decir que el problema corresponde a un contexto matemático puesto que se refiere a la aplicación del teorema de Pitágoras y el cálculo de áreas en una situación particularmente matemática. Por otra parte, el problema: debe conectar la representación plana, con la representación del sólido; va más allá de la simple aplicación de conceptos y fórmulas puesto que tiene que relacionarlos entre sí, mediante el cálculo de áreas. Por esta razón es un problema cuyo nivel de complejidad es Conexión.

El fin último, de acuerdo con la fundamentación de los planes de estudio, no es la solución en sí del problema sino el progreso de la competencia matemática, por tal motivo a través de la solución del problema y del planteamiento de otras situaciones relacionadas con el problema y su solución se pueden activar diferentes procesos.

El proceso Comunicar se puede activar mediante la visualización de diversos aspectos relacionados con la pirámide.

Con el fin de activar el proceso Razonar y argumentar, se puede ver que si el lado mide 20 o más entonces la pirámide "no cierra" (¿por qué?, ¿qué tipo de relación entre la altura y la apotema de la pirámide hace que esto sea así? También se pueden cambiar las dimensiones del cartón y del lado y ver qué sucede.

También, en relación con el proceso Razonar y argumentar, se puede pedir a los estudiantes que deduzcan que el área total de una pirámide de base un cuadrado  de lado l y de apotema a es .

Luego se aprovechará la solución que se proporciona en este material y el desarrollo del tema para realizar el cierre de la lección: el establecimiento del Teorema de Pitágoras, la manera de calcular la apotema y la altura de la pirámide y la forma de calcular las áreas lateral y total de la misma.

Hay aquí, para el caso de base cuadrada, una propiedad muy interesante, resulta que el área total de una pirámide construida de esta manera es igual al producto del lado del cartón (cuadrado en el que se inscribe) por el lado del cuadrado base de la pirámide. Esto puesto que si el cartón tiene lado x, entonces x = 2a+l, es decir . Si se sustituye en la fórmula del área total de la pirámide: . Visualizar esta propiedad permite activar el proceso Conectar puesto que integrar habilidades relacionadas con el manejo de expresiones algebraicas y también el proceso de Plantear y resolver problemas.

Observe que hay aquí al menos dos representaciones involucradas; en primer lugar el desarrollo plano de la pirámide que permite visualizar la relación entre el lado de la base, la apotema y las dimensiones del cartón y, por otro lado la representación visual de la pirámide, que permite ver la relación entre los elementos previamente citados y la altura de la misma. Esto tiene que ver con el proceso Representar. 

Dados los elementos que involucra, la posibilidad de integrar varias habilidades y de profundizar de la forma en que se sugirió antes, es recomendable utilizar el problema en la etapa de aprendizaje de conocimientos.

Para mejorar la visualización espacial y ver la relación entre el sólido y sus elementos planos, es recomendable realizar la construcción que se plantea en el problema.

Una vez construida la pirámide, con base en ella se pueden repasar diversos elementos de la misma y explicar de tal manera los términos que aparecen en el glosario que proporciona este material.

El problema 1 es de reproducción, el 2 es de conexión y los problemas 3 y 4 son de reflexión. Hay que recordar que esta clasificación puede depender del momento en que se consideren los problemas.

En los problemas 3 y 4 se consideran habilidades previas muy importantes como el teorema de Thales que corresponde a 8º año.