Reflexiones: Elementos didácticos

A continuación se presentan las habilidades específicas vinculadas con el problema desarrollado y otros elementos didácticos referidos al tema.

Habilidades específicas que se trabajan con el problema

A través del problema Geometría del billar se trabajó un tema que pertenece a Transformaciones en el plano, en undécimo año, se involucran ideas como: traslaciones, reflexiones, homotecias y rotaciones.

En general este tema incluye las siguientes habilidades específicas:

5. Aplicar el concepto de traslación, homotecia, reflexión y rotación para determinar qué figuras se obtienen a partir de figuras dadas (MEP, 2012, p. 395)

6. Identificar elementos de las figuras geométricas que aparecen invariantes bajo reflexiones o rotaciones (MEP, 2012, p. 395).

7. Trazar la imagen reflejada de una figura dada con respecto a una recta (MEP, 2012, p. 395).

10. Determinar el punto imagen de puntos dados mediante una transformación (MEP, 2012, p. 396).

11. Resolver problemas relacionados con diversas transformaciones en el plano (MEP, 2012, p. 396).

A través de la resolución del problema, el estudiante recurre a utilizar conocimientos previos como el plano carteciano o eje de coordenadas rectangulares, congruencia de triángulos y ángulos, ecuación de la recta. Es importante señalar que la situación planteada implica el uso del concepto de reflexión.

El estudiante a través de la resolución emplea las habilidades específicas 5, 6, 7, 10 y 11 citadas previamente, la transformación de interés que corresponde a la reflexión, es fundamental en el problema.

Indicaciones metodológicas

Respecto a la organización de la lecciones, el MEP (2012, p. 41-44) establece dos etapas, el problema Geometría del billar puede ser empleado en la II Etapa: Movilización y aplicación de los conocimientos, debido a que los estudiantes poseen los conocimientos previos para enfrentar el reto.

De acuerdo con la MEP (2012, pp. 401-402) se deben tener los siguiente aspectos en consideración:

  • Es conveniente desarrollar la habilidad para determinar la imagen bajo la reflexión de un punto dado. Por ejemplo, cuál es el punto imagen de cuando se refleja sobre la recta y = x . Se puede trazar el punto y la recta en un sistema de ejes cartesianos y verificar que el punto imagen es ( 2, -1 ). Gráficamente se puede determinar que la imagen de ( x , y ) bajo la reflexión sobre la recta y = x es ( y , x).
  • También se podrá determinar la figura que se obtiene como imagen de otra mediante una reflexión. Para esto debe ser evidente que la reflexión preserva las distancias y la relación de estar entre, es decir si C está entre A y B entonces C’ está entre A’ y B’. Lo anterior implica que si se quiere determinar la imagen de un segmento AB basta con determinar las imágenes de A y B, y entonces la imagen del segmento AB es el segmento A’B’ . Ejemplo: determinar la imagen del triángulo de vértices A ( -1, 1 ), B ( 0, 3 ), C ( 1 , 2 ) bajo la reflexión sobre la recta y = x . Las imágenes de los vértices son A’ ( 1, -1 ), B’ ( 3, 0 ), C’ ( 2 , 1 ) , de modo que la imagen del triángulo ABC es el triángulo A’B’C’.

Nivel de complejidad y procesos matemáticos

El nivel de complejidad del problema Geometría del billar es de conexión, esto se asocia con la solución presentada y la intervención de los procesos matemáticos que se describen a continuación:

Razonar y Argumentar

Este proceso tiene un grado de participación intermedio, debido primeramente a que se requiere identificar información matemática que no está dada de manera explícita en el enunciado, es necesario colocar la información en el plano carteciano, para realizar los calculos necesarios que permitan determinar los puntos en la banda izquierda y la banda inferior donde impactará la bola blanca.

Plantear y resolver problemas

El problema no se puede considerar familiar para el estudiante. Además, requiere del diseño de una estrategia para la realizar la resolucion: ubicación de los puntos, trazo de recorridos, cálculo de la ecuación de la recta, coordenas de los puntos, por tanto, la intervención de este proceso es intermedia.

Conectar

En la solución los estudiantes deben conectar u usar oportunamente la información que les proporciona el contexto del problema con los conceptos y operaciones del área de Geometría y Relaciones y Álgebra, por ejemplo para determinar las coordenadas del punto de impacto es necesario establecer la ecuación de la recta. En este sentido el grado de la intervención del proceso se puede catalogar como intermedia.

Comunicar

En primer lugar los estudiantes requieren usar la información que ha sido dada en el contexto del problema y ser capaces de seguir una estrategia de solución la cual implica usar conocimentos de Geometría y Relaciones y Álgebra,  así como comunicar el resultado de manera oral o escrita.Todo esto implica una intervención intermedia del proceso de comunicación.

Representar

La intervención del proceso es intermedia, debido a que los estudiantes deben decodificar la información dada en el enunciado e utilizarla en sus diferentes representaciones, por ejemplo:  representación literal “La bola blanca (llámese B) se encuentra ubicada a 80cm de la banda izquierda y a 100cm de la banda inferior; la bola roja (llámese R) se encuentra a 220cm de la banda izquierda y a 60cm de la banda inferior” y representación algebraica

Por tanto, como el proceso de plantear y resolver problemas, razonar y argumentar, conectar, comunicar y representar alcancan una intervención intermedia, el nivel de complejidad del problema es de conexión, debido a las exigencias cognitivas que implica para el estudiante Ruiz (2018). Además puede acceder a los videos de la colección Valoración de Tareas Matemáticas para ampliar los contenidos.

Clasificación del contexto

El problema propuesto posee un contexto que se conceptualiza como personal, debido a que son "las actividades de uno mismo, su familia o sus iguales (…) incluye (pero no se limita a)  (…) preparación de alimentos, compras, juegos, salud personal, transporte personal, deportes, viajes, programación personal y finanzas personales (OCDE, 2016, p. 74)" (Ruiz, 2018, p. 75).