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A continuación, se presentan las habilidades específicas vinculadas con el problema desarrollado y otros elementos didácticos referidos al tema. |
Habilidades específicas que se trabajan con el problema
A través del problema Diseño de carreteras se trabajó un tema que pertenece a Geometría Analítica, de décimo año que incluye el estudio de la circunferencia: centro, radio y recta tangente.
Las habilidades específicas involucradas corresponden a:
- Determinar si una recta dada es secante, tangente o exterior a una circunferencia (MEP, 2012, p. 386).
- Representar gráfica y algebraicamente rectas secantes, tangentes y exteriores a una circunferencia (MEP, 2012, p. 386).
- Analizar geométrica y algebraicamente la posición relativa entre rectas en el plano desde el punto de vista del paralelismo y la perpendicularidad (MEP, 2012, p. 388).
- Aplicar la propiedad que establece que una recta tangente a una circunferencia es perpendicular al radio de la circunferencia en el punto de tangencia (MEP, 2012, p. 388).
Indicaciones metodológicas
Respecto a la organización de la lecciones, el MEP (2012, p. 41-43) establece dos etapas, el problema Diseño de carreteras puede ser empleado en la I Etapa: El aprendizaje del conocimiento, debido a que los estudiantes poseen los conocimientos previos para enfrentar el reto. Es importante resaltar que la solución, la discusión interactiva y comunicativa le ofrecerán los recursos para formalizar la información vinculada con las habilidades específicas 6, 7, 8 y 9.
De acuerdo con la MEP (2012, p. 400) se deben tener los siguiente aspectos en consideración:
- Se debe tener claro que algebraicamente se puede determinar si una recta dada es tangente o secante o exterior a una circunferencia dada. A través de dibujos de circunferencias y rectas en el plano, se pretende analizar si, respectivamente, la recta y la circunferencia tienen sólo un punto en común, o dos o ninguno. Para proceder algebraicamente debe entenderse que el que un punto sea común a ambos significa que sus coordenadas satisfacen ambas ecuaciones simultáneamente, por lo que se debe tener presente el concepto de ecuación de una figura.
- Considerando lo anterior, el asunto se reduce a determinar si una ecuación de segundo grado tiene una solución, dos soluciones o ninguna solución.
- Por ejemplo, dada la circunferencia de ecuación y la recta de ecuación determinar si la recta es exterior, secante o tangente a la circunferencia. Si un punto (x, y) pertenece a ambas curvas entonces debe satisfacer ambas ecuaciones, por lo tanto se sustituye en la ecuación de la circunferencia: . Esto lleva a analizar la ecuación cuyo discriminante es 44 que es positivo. La ecuación tiene dos soluciones, esto quiere decir que hay dos valores distintos de x que la satisfacen y por lo tanto hay dos puntos en común entre la recta y la circunferencia; es una secante.
Nivel de complejidad y procesos matemáticos
El nivel de complejidad del problema Diseño de carreteras es de Conexión, esto se asocia con la solución presentada y la intervención de los procesos matemáticos que se describen a continuación:
Razonar y Argumentar:
Este proceso se activa en un nivel intermedio, debido a que la respuesta se obtiene únicamente después de haber realizado el tratamiento matemático de la información brindada para poder obtener las coordenas del punto B, este proceso conlleva la resolución de ecuaciones y al menos realizar dos sustituciones.
Plantear y resolver problemas:
El problema no es familiar para el estudiante y requiere del uso de una estrategia de solución, determinar la pendiente, establecer una igualdad, hallar una de las coordenadas y posteriormente a través de una sustitución determinar la segunda. Por lo anterior, la intervención del proceso se puede catalogar como intermedia.
Conectar:
En la solución los estudiantes deben usar y conectar oportunamente la información que les proporciona el contexto del problema y los conceptos involucrados como recta tangente y pendiente de una recta. En este sentido la intervención del proceso se puede catalogar como intermedia.
Comunicar:
Los estudiantes deben interpretar y seguir una secuencia de razonamientos matemáticos, donde usan los conceptos y procedimientos, lo anterior lo deben expresar de manera escrita para poder terminar la respuesta, por tanto, esto implica una intervención intermedia del proceso. Un ejemplo de esto es la respuesta esperada “Por tanto, las coordenadas del punto B son (259.8, 150); es decir, el punto B se ubica 259,8 m al oeste y 150 m al norte del punto O”.
Representar:
La intervención del proceso es alta, debido a que los estudiantes deben interpretar la información dada de manera literal por ejemplo “Si el punto A se encuentra a 600 m al norte del punto O y el radio de la circunferencia es de 300 m” y transformarla en una representación gráfica, observe la siguiente imagen:
Además, se emplean representaciones algebraicas como las ecuaciones por ejemplo: 
Esta ecuación permite determinar la coordenada x del par ordenado (p, q) , esto implica interpretar, razonar y transformar la información codificada que esta presente en el problema.
Por tanto, cuatro de los procesos matemáticos alcancan una intervención intermedia, se debe señalar que solamente Representar alcanzó una intervención alta. El nivel de complejidad del problema es de Conexión, debido a las exigencias cognitivas que implica para el estudiante y que fueron detalladas previamente. Se puede profundizar en la estrategia para determinar los niveles de complejidad en Ruiz (2018). Además puede acceder a los videos de la colección Valoración de Tareas Matemáticas para ampliar los contenidos.