Circunferencias y rectas: Desarrollo tema – RECURSOS LIBRES DE MATEMÁTICAS

La recta en el plano

En el plano, una recta es el lugar geométrico de todos los puntos $P (x, y)$ que satisfacen una ecuación de la forma

$A x + B y + C = 0$

Donde A, B y C son números reales constantes tales que A y B no son iguales a 0 simultáneamente.

En el caso de que $B \neq 0$ se puede despejar y en la ecuación anterior y se obtiene:

$y = - \frac{A}{B} x - \frac{C}{B}$

de tal manera, la ecuación de la recta tiene la forma $y = m x + b$ donde $m = - \frac{A}{B}$ y $b = - \frac{C}{B}$

El número $m$ se llama pendiente de la recta

Sobre este tema

Rectas paralelas a los ejes coordenados

Para que la ecuación

$A x + B y + C = 0$

corresponda a una recta, $A$ y $B$ no pueden ser 0 al mismo tiempo; sin embargo, uno de ellos puede ser 0:

Si $A = 0$ , se tiene una ecuación de la forma $y = a$ que corresponde a una recta paralela al eje $x$ .
Si $B = 0$ , se tiene una ecuación de la forma $x = b$ que corresponde a una recta paralela al eje $y$ .

Relaciones de posición entre rectas y circunferencias

Dadas una recta y una circunferencia en el plano, se puede presentar alguna de las situaciones que
se dan en la siguiente figura.

Posición relativa de una recta respecto de una circunferencia

En la figura anterior

La recta $l$ y la circunferencia $C$ no se cortan (no se intersecan), se dice que la recta es exterior a la circunferencia.
La recta $m$ y la circunferencia $D$ se cortan (o intersecan) en dos puntos $P$ y $Q$ , en este caso se dice que la recta es secante a la circunferencia.
La recta $n$ y la circunferencia $E$ se cortan (o intersecan) en un único punto $R$ , en este caso se dice que la recta es tangente a la circunferencia.

Si se tiene la ecuación de una recta y la ecuación de una circunferencia y se quiere determinar la posición relativa entre ellas, lo que se debe averiguar es si no tienen puntos en común, o tienen solo un punto en común o tienen dos puntos en común. Algebraicamente esto significa que debe determinarse si no hay pares de números reales, o hay solamente uno o hay dos de ellos que satisfacen simultáneamente la ecuación de la recta y la ecuación de la circunferencia. Esto conlleva a resolver una ecuación de segundo grado, que, como sabemos, puede no tener soluciones reales o tener solo una o tener dos, lo cual depende del valor del discriminante de la ecuación.

Relación rectas-circunferencias-discriminante

Si $y = m x + b$ es la ecuación de una recta; ${(x - h)}^{2} + {(y - k)}^{2} = r^{2}$ es la ecuación de una circunferencia, para determinar, algebraicamente, si la recta es tangente, secante o exterior a la circunferencia, se puede sustituir la $y$ de la ecuación de la circunferencia por $m x + b$ y resolver la ecuación resultante:

$(x - h)^{2} + (m x + b - k)^{2} = r^{2}$

Esta es una ecuación de segundo grado cuyo discriminante es $D$ . Se tiene que:

Si $△ < 0$ , la ecuación no tiene soluciones reales y por lo tanto la recta es exterior a la circunferencia.
Si $△ = 0$ , la ecuación tiene solo una solución real y por lo tanto la recta es tangente a la circunferencia.
Si $△ > 0$ , la ecuación tiene dos soluciones reales y por lo tanto la recta es secante a la circunferencia.