Operaciones con números naturales: Docentes secundaria

A continuación se presenta un análisis del tema Operaciones con números naturales en la Educación Secundaria.

Los números naturales tienen una presencia permanente en la educación matemática, no son exclusivos de la educación primaria. Al finalizar sexto año, los estudiantes deben estar en capacidad de manejar los números naturales para medir, contar, ordenar, simbolizar y operar, de manera exacta o aproximada, en diferentes contextos (personales, sociales, científicos y matemáticos).

De acuerdo con los Programas de Estudios de Matemáticas (MEP, 2012), al ingresar al tercer ciclo cada estudiante será capaz de:

  • Comparar y resolver operaciones, con números naturales y con números con expansión decimal hasta la diezmilésima.
  • Efectuar la potenciación en un nivel muy básico, principalmente de cuadrados y cubos perfectos.
  • Trabajar con las fracciones, sus diferentes representaciones y sus operaciones.
  • Utilizar conceptos básicos de la teoría de números (número primo, compuesto, divisores, múltiplos, entre otros).
  • Plantear y resolver problemas en contexto.
  • Aplicar diversas estrategias de cálculo mental y la estimación.

La enseñanza de los números durante los primeros años de la Educación Secundaria tiene por objetivo el desarrollo de habilidades para utilizar los números reales en sus representaciones diferentes, manejo de múltiples estrategias para realizar cálculos y la capacidad de plantear y resolver problemas en diferentes contextos. Algunos aspectos relevantes en el aprendizaje en el área de números para el tercer ciclo:

  • La conceptualización de los números enteros, racionales, irracionales y reales.
  • Cálculo de sumas, restas, multiplicaciones, divisiones, potenciación y radicación para los números naturales, enteros, racionales e irracionales.
  • Utilización de las diferentes representaciones de los números reales.
  • Desarrollo del sentido numérico que permita tomar decisiones sobre cuál es la estrategia más adecuada para afrontar un problema: cálculo mental, estimación aproximada, papel y lápiz o el uso de calculadora.

El planteo de tareas matemáticas se puede enriquecer con la conexión de números con las otras áreas matemáticas ( relaciones y álgebra, estadística y probabilidad, medidas, geometría), así como con otras asignaturas. En este ciclo medidas se desarrolla de manera transversal, se debe potenciar su presencia como un aspecto que apoye la contextualización (objetos medibles).

Sobre las habilidades específicas y conocimientos

Con el problema “Pagos iguales”, se profundiza el uso de la combinación de operaciones con números naturales trabajado en sexto año, que permite preparar el camino hacia el trabajo con otros números (enteros, racionales, irracionales y reales). Se debe hacer énfasis en el trabajo operatorio, utilizando diferentes representaciones que permiten desarrollar el proceso representar.

El problema permite trabajar la siguiente habilidad específica de sétimo año:

  1. Resolver una combinación de operaciones que involucren o no el uso de paréntesis (MEP, 2012, p.276).

Uso en la mediación

El problema “Pagos iguales”  debe ser utilizado para abordar la II Etapa: Movilización de los aprendizajes. El conocimiento de operaciones combinadas con números naturales, se trabaja de manera gradual desde cuarto año de la educación primaria. Se espera que sétimo año sea un repaso, con el fin de retomar los algoritmos que permiten operar con estos números.

El problema permite hacer un repaso dirigido a corregir errores típicos, que pueden surgir cuando los estudiantes resuelven una combinación de operaciones. El trabajo se debe realizar de forma simultánea en contextos reales. La utilización de problemas genera la aparición de errores relacionados con el aumento en la dificultad, que los enunciados verbales supone para los estudiantes. Entre los principales obstáculos se encuentra,  la falta de comprensión entre las partes y el todo en un problema, los errores al ejecutar los pasos en un algoritmo y la no aplicación de la jerarquía correcta.

Se sugiere el trabajo en equipo, este brinda la oportunidad de que los estudiantes interactúen entre sí y que compartan sus conocimientos. Además, propicia espacios de discusión, fortalece la autoestima y potencia actitudes positivas hacia la asignatura.

Sobre el problema y elementos relevantes del tema

El problema "Pagos iguales",  ofrece una tarea con un mayor nivel de complejidad, que la asignación de una operación sin contexto, permitiendo a los estudiantes establecer conexiones con otras áreas matemáticas y disciplinas.

La habilidad de efectuar operaciones co naturales es necesaria para abordar con éxito los números enteros. El trabajo con números en el tercer ciclo hace énfasis en las operaciones, sin embargo, el docente debe tener claro, que proponer operaciones enormes y con muchos paréntesis, no tiene sentido, ya que aporta poco al conocimiento real.  En este sentido, las indicaciones puntuales dan la pauta sobre la extensión sugerida que las operaciones combinadas con números naturales deben tener: “La combinación de operaciones no debe exceder de cuatro términos, donde en cada uno de ellos sólo se haga uso de un paréntesis. En el interior de cada paréntesis incluir a lo sumo dos diferentes tipos de operaciones” (MEP, 2012, p. 277).

Sobre el uso de la calculadora

La calculadora se debe utilizar para facilitar los cálculos complejos o extensos, no se debe usar para resolver ejercicios básicos de operaciones. Las actividades que proponga el docente en presencia de la calculadora deben ser cuidadosamente diseñadas, en este tipo de tareas el cálculo en sí mismo no es importante, sino la búsqueda de las operaciones adecuadas y la interpretación del significado de las relaciones numéricas. El docente debe tener presente que en el tercer ciclo el sentido numérico está asociado a la toma de decisiones: ¿cuál es la estrategia más adecuada para enfrentar un problema (papel y lápiz, cálculo mental, estimación o el uso de calculadora o incluso la computadora)?

En cuanto a la utilización de la calculadora los Programas de Estudios de Matemáticas indican:

La calculadora científica se puede utilizar a partir de 7°Año. Esta es una herramienta que puede utilizarse cuando aparecen números muy grandes en los cálculos para que la o el estudiante se concentre en los aspectos clave de la resolución de problemas, como la elaboración de estrategias, la comunicación y elaboración de conjeturas. También puede ser indispensable para la comprobación de resultados en las operaciones(MEP, 2012, p. 294).

El uso de la calculadora no se debe restringir a la obtención de un resultado, el docente puede proponer situaciones donde esta sea una herramienta para explorar propiedades, para encontrar una regularidad, para validar un procedimiento. Veamos un ejemplo:

Generalizar la siguiente expresión (*).

Aquí la calculadora permite comprobar la identificación de una propiedad general, que requiere ampliar el concepto de cifra. Este problema permite establecer conexiones con Relaciones y Álgebra.

(*) Tomado de: Gairín y Sancho, 2002.

El cálculo mental y la estimación

Al iniciar el tercer ciclo se supone que los estudiantes ya son diestros en los algoritmos con lápiz y papel, además, cuentan con conocimientos de algunas estrategias de cálculo mental y estimación que han sido desarrolladas en la primaria. El estudiante debe estar en capacidad de seleccionar los métodos y herramientas adecuados para la resolución de cálculos numéricos, además, de evaluar la pertinencia de los resultados que se obtienen al realizar un cálculo mental o una estimación y argumentar sus respuestas.

El propósito de la Educación Secundaria será entonces el incremento del sentido numérico a partir de una profundización del conocimiento de los sistemas de numeración, sobre las relaciones y operaciones entre los números. El cálculo mental y la estimación son herramientas vitales en el fortalecimiento del sentido numérico que debe darse en el tercer ciclo.

Nivel de complejidad y procesos matemáticos

El nivel de complejidad del problema “Pagos iguales” está estrechamente ligado a la etapa en la que se ubique la actividad, ya que esta situación tiene influencia directa sobre la intervención de los procesos matemáticos que la determinación del nivel de complejidad del problema.

Respecto al análisis efectuado acerca del proceso de resolución del problema, se obtuvo  que los procesos Razonar y argumentar, Plantear y resolver problemas, Conectar , Comunicar y Representar  alcanzaron una intervención intermedia. El nivel de complejidad del problema es de Conexión, el detalle de este análisis se puede consultar en la sección  Docentes Primaria.

Se puede profundizar en la estrategia para determinar los niveles de complejidad en Ruiz (2018) y puede acceder a los videos de la colección Valoración de Tareas Matemáticas para ampliar los contenidos.