Copia de Definiciones y axiomas de probabilidad: Glosario

Espacio muestral

Es el conjunto de los posibles resultados simples de un experimento aleatorio. Por ejemplo, al lanzar al aire un dado numerado de uno a seis, el espacio muestral está dado por el conjunto:S=\left \{ 1,2,3,4,5,6 \right \}

Punto muestral

Los puntos muestrales son los resultados simples de un experimento, en términos más simples los puntos muestrales son los elementos de un espacio muestral. Por ejemplo, al lanzar un dado numerado de uno a seis, cada uno de los posibles resultados se considera un punto muestral de este experimento.

Eventos aleaorios

Los eventos aleatorios se consideran subconjuntos de un espacio muestral, un evento se considera un resultado posible de un experimento. Por ejemplo, al lanzar al aire un dado numerado de uno a seis, los siguientes son eventos aleatorios A: obtener un número par, se tiene que A=\left \{ 2,4,6 \right \}, B: obtener un número primo, entonces B=\left \{ 2,3,5 \right \}

Espacio muestral

Es el conjunto de los posibles resultados simples de un experimento aleatorio. Por ejemplo, al lanzar al aire un dado numerado de uno a seis, el espacio muestral está dado por el conjunto:S=\left \{ 1,2,3,4,5,6 \right \}

Punto muestral

Los puntos muestrales son los resultados simples de un experimento, en términos más simples los puntos muestrales son los elementos de un espacio muestral. Por ejemplo, al lanzar un dado numerado de uno a seis, cada uno de los posibles resultados se considera un punto muestral de este experimento.

Eventos aleaorios

Los eventos aleatorios se consideran subconjuntos de un espacio muestral, un evento se considera un resultado posible de un experimento. Por ejemplo, al lanzar al aire un dado numerado de uno a seis, los siguientes son eventos aleatorios A: obtener un número par, se tiene que A=\left \{ 2,4,6 \right \}, B: obtener un número primo, entonces B=\left \{ 2,3,5 \right \}

Evento imposible

Representa al evento que no tienen puntos muestrales, es decir dicho evento no puede ocurrir. Normalmente se representa con \phi.

Evento seguro

Representa el evento que se tiene la seguridad absoluta de que va a ocurrir. El evento seguro corresponde al espacio muestral, debido a que incluye todos los posibles resultados del experimento aleatorio.

Unión de eventos

Si A y B son eventos de un espacio muestral S, la ocurrencia del evento A o del evento B (o de ambos), corresponde a los que se denomina unión de los eventos A y B, se denotada con A\cup B, incluye la reunión de los puntos muestrales de A y los de B.

Intersección de eventos

Si A y B son eventos de un espacio muestral S, la ocurrencia de los eventos A y B al mismo tiempo se interpreta como la intersección de los eventos A y B, se denotada con A\cap B. Esta intersección incluye los puntos muestrales que están en A y B a la vez.

Complemento de un evento

Si A es un evento de un espacio muestral S, la no ocurrencia del evento A, se interpreta como la ocurrencia del complemento de A, se representa con A^{c}, incluye los puntos muestrales que no están en A.

eventos mutuamente excluyentes

Si A y B son eventos de un espacio muestral S, se dice que los eventos A y B son mutuamente excluyentes si no tienen puntos muestrales en común, es decir A\cap B=\phi .

Concepto clásico o laplaciano de probabilidad

Si un experimento tiene n resultados igualmente probables (es decir el espacio muestral tiene n elementos) y un evento A cualquiera tiene a su favor k resultados (donde k es menor o igual a n)  entonces se dice que la probabilidad de que el evento A ocurra (se representa con ) viene dada por la razón:

\frac{\textup{Total de resultados a favor del evento A}}{\textup{Total de resultados del experimento}}=\frac{k}{n}

Axiomas de probabilidad

Probabilidad de un evento cualquiera

Se ha mencionado anteriormente que la probabilidad del evento imposible es cero y la probabilidad del evento seguro (que representa a todo el espacio muestral) es uno, entonces para cualquier otro evento A se cumple que:

0\leq P\left ( A \right )\leq 1

Probabilidad del evento seguro

Si S representa al espacio muestral de un experimento que tiene n puntos muestrales, se tiene que:

P\left ( S \right )=1

Probabilidad del evento imposible

Normalmente se representa con \phi al evento imposible, el cual no tiene puntos muestrales, entonces se tiene que:

P\left ( \phi \right )=0

Probabilidad de la unión de eventos mutuamente excluyentes

Si tenemos dos eventos A y B en un espacio muestral S que son mutuamente excluyentes, es decir no hay puntos muestrales en común, se cumple que:

P\left ( A\cup B \right )=P\left ( A \right )+P\left ( B \right )

Concepto frecuencista o laplaciano de probabilidad

En una muestra que incluye n elementos, de los cuales existe una frecuencia de k elementos a favor de evento A, entonces se dice que la probabilidad de que el evento A ocurra (se representa con P\left ( A \right )) y viene dada por la razón:

P\left ( A \right )=\frac{\textup{Frecuencia de resultados a favor de A}}{\textup{Total de elmentos en la muestra}}=\frac{k}{n}

Espacio muestral y eventos

Espacio muestral

Es el conjunto de los posibles resultados simples de un experimento aleatorio.

  1. Al lanzar al aire un dado numerado de uno a seis, el espacio muestral está dado por el conjunto:S=\left \{ 1,2,3,4,5,6 \right \}
  2. Si se lanza una moneda nacional y un dado numerado de uno a seis El espacio muestral correspondiente es el conjunto:S=\left \{ E1,E2,E3,E4,E5,E6,C1,C2,C3,C4,C5,C6 \right \}, la letra representa el resultado de la moneda y el número el resultado del dado.
  3. De un grupo de décimo año de cierto colegio se selecciona aleatoriamente un estudiante para que represente al grupo en una actividad general de la institución. El espacio muestral está constituido por todos los estudiantes de ese grupo.

Punto muestral

Los puntos muestrales son los resultados simples de un experimento, en términos más simples los puntos muestrales son los eventos de un espacio muestral. Por ejemplo, al lanzar un dado numerado de uno a seis, cada uno de los posibles resultados se considera un punto muestral de este experimento.

Eventos aleatorios

Los eventos aleatorios se consideran subconjuntos de un espacio muestral, un evento se considera un resultado posible de un experimento.

  1. Al lanzar al aire un dado numerado de uno a seis, los siguientes son eventos aleatorios A: obtener un número par, se tiene que A=\left \{ 2,4,6 \right \}, B: obtener un número primo, entonces B=\left \{ 2,3,5 \right \}
  2. De un grupo de décimo año de cierto colegio se selecciona aleatoriamente un estudiante para que represente al grupo en una actividad general de la institución. Considere los eventos:  A: seleccionar una mujer, este evento estaría constituido por todas las mujeres del grupo y B: seleccionar un estudiante que haya nacido en el mes de febrero. Este evento está constituido por todos los estudiantes que cumplen años en febrero.

Evento imposible

Representa al evento que no tienen puntos muestrales, es decir dicho evento no puede ocurrir. Normalmente se representa con \phi.

  1. En el experimento en que se debe seleccionar un estudiante de décimo año de cierto colegio, se considera el evento de que el estudiante haya nacido en el mes febrero. Sin embargo, si no hay estudiantes en esta condición, entones el evento se dice que es imposible debido a que no tiene puntos muestrales.
  2. Si se lanzan dos dados numerados de uno a seis cada uno de ellos, y se suman los puntos obtenidos, el evento de obtener el número uno es imposible.

Evento seguro

Representa el evento que se tiene la seguridad absoluta de que va a ocurrir.

  1. Se lanzan dos monedas nacionales y se considera el evento de obtener menos de tres escudos. Este evento es seguro o cierto debido a que al lanzar dos monedas nacionales se pueden obtener dos escudos, un escudo o ningún escudo, por ello se sabe con certeza que el número de escudos es menor de tres.
  2. Se lanzan dos dados numerados de uno a seis y se suman los puntos obtenidos. El evento de obtener un número no mayor de 12 es una evento seguro, debido a que el número máximo que se puede obtener en este experimento es un 12 que se obtiene si los dos dados dieron por resultado un seis.

Operaciones con eventos

Cuando se vinculan dos o más eventos por medio de operaciones de conjuntos se generan nuevos eventos.

Unión de eventos

Si A y B son eventos de un espacio muestral S, la ocurrencia del evento A o del evento B (o de ambos), corresponde a los que se denomina unión de los eventos A y B, se denotada con A\cup B, incluye la reunión de los puntos muestrales de A y los de B.

  1. Si se lanzan dos dados numerados de uno a seis cada uno y se suman los puntos.Se consideran los eventos:A: obtener un número par, A=\left \{ 2,4,6 \right \} y B: obtener un número primo, B=\left \{ 2,3,5 \right \}Entonces la unión de los eventos A con B viene dado por A\cup B=\left \{ 2,3,4,5,6 \right \}.
  2. Si volvemos al grupo de décimo año de un colegio en donde se selecciona aleatoriamente un estudiante para que represente al grupo. Considere los eventos: A: seleccionar una mujer y B: seleccionar un estudiante que haya nacido en el mes de febrero. La unión de estos eventos incluye a todas las estudiantes mujeres y también a los varones que cumplen años en febrero.

Intersección de eventos

Si A y B son eventos de un espacio muestral S, la ocurrencia de los eventos A y B al mismo tiempo se interpreta como la intersección de los eventos A y B, se denotada con A\cap B. Esta intersección incluye los puntos muestrales que están en A y B a la vez.

  1. Para el ejemplo en que se lanzan dos dados numerados de uno a seis y se suman los puntos. Si se consideran los eventos: A: obtener un número par y B: obtener un número primo, entonces la intersección de los eventos A y B viene dada por A\cap B=\left \{ 2 \right \}.
  2. En el caso del grupo de décimo año con los eventos A: seleccionar una mujer y B: seleccionar un estudiante que haya nacido en el mes de febrero. La intersección de estos eventos incluye solamente las estudiantes mujeres que cumplen años en febrero.

Complemento de un evento

Si A es un evento de un espacio muestral S, la no ocurrencia del evento A, se interpreta como la ocurrencia del complemento de A, se representa con A^{c}, incluye los puntos muestrales que no están en A.

  1. Si se lanzan dos dados numerados de uno a seis cada uno y se suman los puntos. Para los eventos: A: obtener un número par y B: obtener un número primo, entonces el complemento del evento A viene dado por A^{c}=\left \{ 1,3,5 \right \}, que significa obtener un número impar. El complemento del evento B viene dada porB^{c}=\left \{ 1,4,6 \right \} que significa no obtener un número no primo.
  2. Para el el ejemplo del grupo de décimo año de cierto colegio en donde se selecciona aleatoriamente uno se ellos para que represente al grupo en una actividad general de la institución. Los eventos son A: seleccionar una mujer y B: seleccionar un estudiante que haya nacido en el mes de febrero. Entonces el complemento del evento A  corresponde al evento de seleccionar un varón. El complemento del evento B viene dada corresponde al evento de seleccionar un estudiante que no cumple años en febrero.

Nota: Las operaciones anteriores también se pueden representar por los llamados diagramas de Venn, en los cuales el espacio muestral se representa con una figura cerrada (normalmente un polígono) y en su interior se incluyen los eventos por medio también como figuras cerradas (normalmente se utilizan círculos), las partes en verde representa el resultado de las operaciones correspondientes:

Eventos mutuamente excluyentes

Si A y B son eventos de un espacio muestral S, se dice que los eventos A y B son mutuamente excluyentes si no tienen puntos muestrales en común, es decir A\cap B=\phi .

Por ejemplo:

Se lanza un dado numerado de uno a seis y se consideran los eventos:

  • A: obtener un número par, se tiene que A=\left \{ 2,4,6 \right \}
  • B: obtener un número impar, entonces B=\left \{ 1,3,5 \right \}

Los eventos A y B son mutuamente excluyentes debido a que no tienen puntos muestrales en común.

 

Concepto clásico de probabilidad

Si un experimento tiene n resultados igualmente probables (es decir el espacio muestral tiene n elementos) y un evento A cualquiera tiene a su favor k resultados (donde k es menor o igual a n)  entonces se dice que la probabilidad de que el evento A ocurra (se representa con ) viene dada por la razón:

\frac{\textup{Total de resultados a favor del evento A}}{\textup{Total de resultados del experimento}}=\frac{k}{n}

Nota: La definición anterior se le llama definición clásica de probabilidad, por medio de ella se puede encontrar la probabilidad de cualquier evento siempre que se conozca el número total de resultados del experimento y el número de resultado a favor del evento.

Por ejemplo:

Suponga que se hacen girar las siguientes ruletas, para las cuales se supone que están bien equilibradas y que en cada una de ellas las regiones son equiprobables.

¿En cuál ruleta tiene mayor probabilidad que salga favorecido el color:

  1. celeste?
  2. rojo?
  3. azul?

Solución:

Se debe tener cuidado para analizar este tipo de problemas, porque se incluyen dos ruletas con un número de regiones diferente, por lo que la cantidad absoluta de regiones a favor de cada color no es comparable entre las ruletas, entonces se debe recurrir a comparaciones relativas por medio de la definición clásica de probabilidad.  Seguidamente se presenta el análisis para cada caso

  1. Para determinar en cuál de las ruletas el color celeste es más probable se debe observar que en la primera ruleta hay dos regiones de color celeste de un total de 18 regiones que incluye la ruleta. Por ello la probabilidad del color celeste en esta ruleta sería: P\left ( Celeste \right )=\frac{2}{18}=\frac{1}{9}.Mientras que en la segunda ruleta solamente una región es de color celeste de un total de 6 regiones. Entonces la probabilidad viene dada por: P\left ( Celeste \right )=\frac{1}{6}.Entonces como se tiene que , entonces es más probable obtener un color celeste en la ruleta 2.
  2. En cuanto al color rojo, haciendo el mismo análisis de ítem anterior, se tiene que en la ruleta 1 hay cuatro regiones rojas del total de 18, por esta razón en esta ruleta: P\left ( Rojo \right )=\frac{4}{18}=\frac{2}{9}.En la ruleta 2 hay una región roja de una total de seis, se tiene que:P\left ( Rojo \right )=\frac{1}{6}Debido a que se cumple que , entonces la probabilidad de seleccionar el color rojo es mayor en la ruleta 1.
  3. Del mismo modo, para el color azul en la ruleta 1 se tienen tres regiones azules y P\left ( Azul \right )=\frac{3}{18}=\frac{1}{6}.En la ruleta 2 incluye una región azul y así P\left ( Azul \right )=\frac{1}{6}Entonces la obtención de una región color azul es igualmente probable en ambas ruletas. Esto significa que los eventos son equiprobables.

 

Axiomas básicos de las probabilidades

Según lo establecido en la definición clásica de probabilidad, se pueden deducir algunas propiedades básicas, seguidamente se citan las más importantes:

Probabilidad del espacio muestral

Si S representa al espacio muestral de un experimento que tiene n puntos muestrales, se tiene que:

P\left ( S \right )=\frac{\textup{Total de elementos de S}}{\textup{Total de elementos del espacio muestral}}=\frac{n}{n}=1

 

Probabilidad del evento imposible

Normalmente se representa con \phi al evento imposible, el cual no tiene puntos muestrales, entonces se tiene que:

P\left ( \phi \right )=\frac{\textup{Total de elementos de }\phi }{\textup{Total de elementos del espacio muestral}}=\frac{0}{n}=0

Probabilidad de un evento cualquiera

Se ha mencionado anteriormente que la probabilidad del evento imposible es cero y la probabilidad del evento seguro (que representa a todo el espacio muestral) es uno, entonces para cualquier otro evento A se cumple que:

0\leq P\left ( A \right )\leq 1

Lo anterior lo podemos observar en el siguiente esquema:

Probabilidad de la unión de eventos mutuamente excluyentes

Si tenemos dos eventos A y B en un espacio muestral S que son mutuamente excluyentes, es decir no hay puntos muestrales en común, se cumple que:

P\left ( A\cup B \right )=P\left ( A \right )+P\left ( B \right )

Al no existir puntos muestrales en común entonces solamente se suman las probabilidades particulares.

Por ejemplo:

Si consideramos de nuevo del lanzamiento de un dado numerado de uno a seis y se consideran los eventos:

  • A: obtener un número par, se tiene que A=\left \{ 2,4,6 \right \}
  • B: obtener un número impar, entonces B=\left \{ 1,3,5 \right \}

Entonces P\left ( A\cup B \right )=P\left ( A \right )+P\left ( B \right )=\frac{3}{6}+\frac{3}{6}=1.

Observe que en este caso al unir A y B se obtiene el espacio muestral o sea el evento seguro.

 

Concepto empírico o frecuencista de probabilidad

En una muestra que incluye n elementos, de los cuales existe una frecuencia de k elementos a favor de evento A, entonces se dice que la probabilidad de que el evento A ocurra (se representa con P\left ( A \right )) y viene dada por la razón:

P\left ( A \right )=\frac{\textup{Frecuencia de resultados a favor de A}}{\textup{Total de elmentos en la muestra}}=\frac{k}{n}

Nota: Observe que la definición anterior es similar a la definición clásica, con la salvedad anotada anteriormente de que el resultado empírico es una estimación de la probabilidad real y que puede variar de una muestra a otra.

A medida que el tamaño de la muestra se hace cada vez más grande la estimación de la probabilidad real se hace cada vez más precisa, esta propiedad se conoce como la ley de los grandes números.

Por medio de ella se puede encontrar la probabilidad de cualquier evento siempre que se conozca el número total de resultados del experimento y el número de resultado a favor del evento

Puede notarse en el gráfico que conforme el tamaño de la muestra aumenta la probabilidad empírica se aproxima cada vez más a la probabilidad real del evento.

Los axiomos básicos de propiedades de probabilidad también son válidas en el caso de que estemos trabajando con probabilidades empíricas.

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