Ecuación de primer grado: Elementos didácticos

El problema propuesto “Calculando el costo de un viaje en taxi” permite el repaso de conocimientos, habilidades previas y la integración de habilidades del área de Relaciones y Álgebra del III ciclo. El problema corresponde a octavo año y es recommendable para la etapa de aprendizaje del conocimiento ecuaciones de primer grado con una incógnita.

Antes de plantear el problema se recomienda al docente discutir conocimientos y habilidades previas.

Conocimientos previos


En la solución del problema planteado hemos buscado un patrón para la relación entre la tarifa y la distancia total recorrida por el taxi. Con esto el docente podrá repasar, mediante preguntas apropiadas, conocimientos previos involucrados en la siguiente habilidad de sétimo año:

  1. Identificar la ley de formación de una sucesión utilizando lenguaje natural, tabular y algebraico. (MEP, 2012, p. 328)

Habilidades que involucra

Este problema, conforme a la solución presentada, permite integrar cuatro habilidades específicas de octavo año:

  1. Identificar situaciones dadas que pueden ser expresadas algebraicamente en la forma y = ax + b. (Habilidad 1). (MEP, 2012, p. 331)
  2. Reducir una ecuación a otra que es equivalente a ella. (Habilidad 13). (MEP, 2012, p. 335)
  3. Relacionar una cuación de primer grado con una incógnita de la forma  ax + b = c con la función lineal cuya representación algebraica es y = ax + b. (Habilidad 15). (MEP, 2012, p. 336)
  4. Resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita. (Habilidad 16). (MEP, 2012, p. 336)

Todo ello enmarcado en la habilidad general para el III ciclo que se refiere a:

  • Utilizar las ecuaciones de primer y Segundo grado para resolver problemas. (MEP, 2012, p. 328)

Presentación del problema

El docente presentará a los estudiantes el problema que se propone en la plataforma en la sección "Problema" Calculando el costo de un viaje en taxi.
La presentación del problema en el aula dependerá de los recursos disponibles para el docente. Podría ser mediante la proyección directa del problema el sitio si se cuenta con un computador, un proyector y la conexión Internet. Otra posibilidad sería proyectar el problema desde um computador. Si el docente no cuenta con estas herramientas entonces podría llevar una cartolina con el problema escrito o formar subgrupos y distribuir una hoja (fotocopia) a cada subgrupo con el problema escrito o bien escribir el problema en la pizarra.

Respecto a la organización de las lecciones, el Programa (MEP, 2012, p. 41-44) establece dos etapas. El problema puede ser empleado en la etapa 1 que corresponde al aprendizaje del conocimiento.

Es fundamental considerar la importancia del trabajo individual (fase independiente) y grupal para evaluar la participación y el trabajo cotidiano de cada estudiante en el aula. Es recomendable dar de tres a cinco minutos para que los estudiantes piensen en la estrategia a utilizar para resolver el problema, en forma individual o en pequeños grupos y que posteriormente comuniquen a todo el grupo y al docente las estrategias encontradas. Esto activa el proceso de comunicación.

Debe quedar claro lo que el problema pretende. El contexto dado es parte importante del problema pues lo conecta a una situación de la vida real.

El docente puede  plantear preguntas como ¿qué significa tarifa banderazo? ¿tarifa variable? ¿qué es lo que el problema está solicitando?

Ahora volviendo al problema planteado. Debido a los cambios en las tarifas de los taxis, aprobados por Aresep, es recomendable que el docente utilice la tarifa actualizada para que el problema sea todavía más real para los estudiantes.

Dos observaciones fundamentales en el problema planteado. La primera es que tenemos  dos preguntas en el problema. La primera es ¿cuál es la relación entre la tarifa total distancia recorrida por el taxi?y la segunda es si ¿el dinero que Nicolás tiene disponible alcanza para llegar a la casa de su abuela en taxi?

La segunda observación es que las hipótesis dadas “no hay tarifa de espera ni de demora” simplifican el problema. En una segunda etapa, la de movilización  y aplicación de los conocimientos, el docente podrá agregar alguna de las restricciones dadas.

Caracterización del problema

De acuerdo con el enunciado y al analizar la solución el problema, según las categorías descritas en Ruiz (2018) corresponde a un contexto personal puesto que se refiere a una situación de la vida real referida a una persona específica, en este caso Nicolás.

El problema implica mucho más que la simple aplicación de conceptos y formulas puesto que es necesario deducir, posiblemente inductivamente, la relación entre la Tarifa y la distancia total del recurrido del taxi, es decir, se determina un modelo matemático que permite resolver el problema y son utilizadas varias representaciones matemáticas *verbal, tabular y algebraica). Además, considerando el nivel educativo (octavo año) y la etapa sugerida (aprendizaje de conocimientos), podemos concluir que el nivel de complejidad del problema es de Reflexión Ruiz (2018). En el mencionado artículo usted podrá aprender más acerca de como determinar los niveles de complejidad de un problema.

Procesos matemáticos

El fin último, de acuerdo con la fundamentación de los planes de estudio (MEP, 2012 ), no es la solución en sí del problema sino el desarrollo de habilidades cognitivas superiores que nutran la competencia matemática, es decir, la capacidad del individuo para formular, emplear e interpreter las matemáticas en una variedad de contextos. La mediación pedagógica es la clave para el logro del progreso de la competencia mencionada.

A través de la solución del problema y del planteamiento de otras situaciones relacionadas con el problema y su solución sepueden activar diferentes procesos.

Plantear y resolver problemas

Por lo general, los problemas en contextos reales son interesantes y retadores para los estudiantes, además de activar el proceso de Plantear y resolver problemas. Es importante que el docente proporcione tiempo para el trabajo individual o a pequeños grupos para que los estudiantes busquen estrategias para resolver el problema planteado. Esto activa el proceso Plantear y resolver problemas.

Comunicar

El proceso Comunicar se puede activar cuando el estudiante está trabajando en pequeños grupos en la búsqueda de alguna estrategia para resolver el problema y cuando el estudiante explique a todo el grupo y al docente cuál es la estrategia que su pequeño grupo o bien él mismo encontró. En esta etapa es posible que se genere una lluvia de ideas que serán retomadas por el docente durante el cierre de la lección.

Conectar

La integración de las cuatro habilidades específicas mencionadas en habilidades que involucra es una forma de conexión dentro del área involucrada, en este caso el área de Relaciones y Álgebra. La búsqueda de la relación entre la tarifa y la distancia total recorrida también implicó el uso de habilidades relacionadas con patrones de sétimo año.

Aquí no hemos realizado otras conexiones con otras disciplinas que podrían surgir en la discusión interactiva y comunicativa. Por ejemplo las presas ocasionadas por la gran cantidad de autos y la pobre infraestructura de las carreteras. Otro problema es el de la contaminación del aire que respiramos.

Razonar y argumentar

El docente puede proponer algunas preguntas distintas a las planteadas. ¿Qué sucedería si Nicolás vive a 7 kilómetros de la casa de su abuela, los 4000 colones le alcanzarían para el viaje en taxi? ¿Por qué? Si la respuesta es no, ¿cuántos colones más ocuparia Nicolás? Respuestas a preguntas como las anteriores contribuyen a la activación del proceso Razonar y argumentar.

Representar

En la solución fueron utilizadas tres representaciones: Verbal y Tabular (en el enunciado del problema y en la solución) y algebraica (en la solución). La representación verbal se debe a que el enunciado del problema se utiliza texto escrito en el lenguaje cotidiano.

Por otro lado el enunciado del problema se presenta una tabla (cuadro) con la tarifa de los taxis tipo sedán autorizada por ARESEP. En la solución se busca el patrón de solución en una tabla que permite resumir los datos. También se deduce el modelo, representación algebraica, que resuelve la primera parte del problema.

Etapa más apropiada


Mencionamos al inicio de esta sección que la etapa más apropiada para tratar el problema es la de aprendizaje del conocimiento ecuaciones de primer grado con una incógnita, en octavo año.

Otras observaciones


Es importante mencionar que en las indicaciones metodológicas referentes al tema en el Programa (MEP, 2012, p. 344), la idea es introducir la función lineal como una relación entre variables y que en décimo año se dará un tratamiento más formal a las funciones.

Otro aspecto de cuidado es cuando se establece una relación gráfica, visual, entre la solución de una ecuación de primer grado y la función lineal.

La primera observación es que al representar gráficamente la recta representada algebraicamente por y = ax + b  y la recta horizontal y = cpor lo general no es fácil determinar las coordenadas del punto de intersección entre ambas rectas, principalmente si las coordenadas del punto no son números enteros. En este caso obtendremos una aproximación visual de la solución de la ecuación ax + b = c en lugar de una solución exacta.

Otra observación es que al realizar la representación gráfica de una recta incluimos puntos que corresponden a valores numéricos no racionales de sus coordenadas. En octavo año los estudiantes todavía no han visto los números irracionales. En este caso hay que aclarar que los puntos de la recta que corresponden a los valores racionales presentan una tendencia visual de una recta.

Sobre la práctica


Las observaciones que siguen corresponden a los problemas planteados en la sección  Práctica .

El problema 1 es de reproducción y su contexto es personal. Se proporciona el modelo, en este caso es una función lineal, y se pide que la evalúe en un valor particular de su dominio.Los procesos intervienen a un nivel muy bajo en su solución. En Ruiz (2018)  usted podrá aprender más acerca de como determinar los niveles de complejidad de un problema.

El problema 2 también es de reproducción con contexto personal. En este caso hay que resolver una ecuación de primer grado como la resuelta en la segunda pregunta del problema propuesto inicialmente en la sección  Problema.

El problema 3 es de conexión. Sería de reflexión si fuera utilizado en la etapa de aprendizaje de conocimientos, pero está propuesto para la etapa de movilización y aplicación de los conocimientos, dejando de ser algo nuevo para los estudiantes. Hay que recordar que esta clasificación puede depender del momento en que se consideren los problemas.Para el problema 3 es necesario hacer una conversion de la parte decimal de las horas para obtener los minutos correspondientes, pues la respuesta está dada en horas y minutos. Esta es una habilidad del área de Medidas. El contexto es personal.

El problema 4 es de reflexión con contexto personal. En este problema hay que identificar la relación (modelo) correcta y utilizarla para resolver un caso particular. Otra dificultad consiste en que la respuesta no es única. Tenemos dos opciones correctas, lo que dificulta la toma de decision del estudiante.